基本的には自己都合退職者に対しては、国はあまり失業保険を給付したくないのが本音だと思います。支給日数も、保険の加入年数や年齢によって違いますが、会社都合のほうが優遇されています。

失業保険についてお伺いしたいのですが……

当方は先月に１９ヶ月働いていた会社を自己都合で退社し、
その際に失業保険を受けるための離職届の発行を申請したのですが未だに連絡がありません。

また先月分の給与(日割り)も支払われておりません。

これらの発行や支払いは雇用者にとってはなにか法律上の義務があるのでしょうか？

また、あるとしたらそれはどのような法律なのでしょうか？

どうか教えてください。よろしくお願いいたします。

事業主は被保険者が退職した際に翌日から10日以内にハロワへ「雇用保険被保険者資格喪失届」を提出しなければなりません。これは雇用保険法で定められています。また、退職した従業員が離職票を請求した場合にはこれに応じる必要があります(通常は何も言わなくてもくれるのですが)。
会社に請求してもくれないのでしたら、ハローワークの窓口で「資格喪失の確認」をして、離職票の交付を会社にするようにと、相談してみてください。

また、働いた最後の月の給与も会社は当然支払わなければなりません。労働基準法で決まっています(代表的なのが第24条)。もし、会社が払わないのでしたら、まずは「労働基準監督署」の窓口で相談してください。

自己退職の理由では3か月間、失業保険金の支払いがありませんと言われました。なぜなのでしょうか？明確な理由をご存知の方教えて下さい。

会社都合での退職と自分から退職した場合の区別をつけるためでしょう。
会社都合は自分の意思に反し、倒産やリストラで職を失ったのだから、
生活にも支障をきたすという理由ですぐに支給開始対象になるだろうと思います。
自己都合の場合、自分から進んで辞めたのだから、
ある程度の蓄えもあるだろうから、できるだけ早く自分で次の仕事を見つけなさい、
３か月以上経っても見つからない場合はケアしましょうというスタンスだと思います。
基本的には自己都合退職者に対しては、国はあまり失業保険を給付したくないのが本音だと思います。
支給日数も、保険の加入年数や年齢によって違いますが、
会社都合のほうが優遇されています。

離職票について。

以前、派遣会社を退職した際、離職票が届かず問い合わせたら、通常は発行しない設定になっており、請求したときのみ発行と言われたことがあります。
こういう決まり事？は
あるものでしょうか？
離職票は、請求しないと発行してもらえませんか？

また、転職を繰り返した場合、短期間の加入期間が累積しますが、
いざ、失業保険を申請となった場合、いつの離職票が必要ですか？
失業保険を申請するとなったときに、過去の勤め先に申請するのでしょうか？
過去半年の給料実績が必要と記憶しているのですが、実際細切れの勤務の場合どうなるか、わかりません。
また、体調不良で退職した場合は、半年の加入期間で支給されますか？認定はどのようにされますか？診断書が必要ですか？
尚、2012年6月まで受給してました。

ご教示宜しくお願いいたします。

＞尚、2012年6月まで受給してました。

何を受給していたのでしょうか？

派遣の仕事でも雇用保険に加入していないと離職票は発行できませんよ。

短期の仕事だと雇用保険には加入しないこともあります。

補足について

自己都合退社の場合、失業給付の申請条件は
直近の２年間の間に１１日以上勤務した月が合算で１２カ月以上あることです。

あなたは一度失業給付を申請していますから、
この２年間での加入期間は１２カ月ありませんよね。

よって、失業給付の申請はできません。